切割线
切割线（cross line）：在航空物探测量中，由于受飞行高度、空间位置，以及仪器特性变化影响，各测线测量难以在同一水平，而且观测误差往往较大，因此需布设垂直于测线方向的切割线，供各测线间调平和全区测量质检。切割线间距可等于或为测线间距的2～10倍，并应尽量选在磁场相对平静和地形高差变化较小地段。
提出问题1
复习上节课的相交弦定理的内容，当点在特殊位置――圆周上时，结论还是成立。由此，引出课题：妆点在圆外时，结论如何？
设计意图：创设问题情境，以引起学生学习需要和学习兴趣。此过程约3分钟。
问题2的解决
动手实验，提出假设1
带着这些问题，学生动手实验，并观察实验数据的变化。
并由实验数据，归纳出一般的结论。并把猜测展示在展示区上。
设计意图：动手实验，为发现结论提供感性认识，同时也培养学生的观察能力。定理的再发现，培养学生主动探索、发现和解决问题的意识。网络展示，增强数学的学习乐趣。此过程约3分钟。
证明假设1
利用问题引导学生证明假设：
（1）你提出的猜测是什么形式的？这种形式的式子可用什么方法证明？
（2）相交弦定理的证明用的是什么方法？能否用同样的办法证明你的猜测？
（3）只有一种证明的方法吗？还有其它的方法吗？
这对学生来说，应该不难证明。
设计意图：类比学习既使学生学会自主学习的方法，又熟悉了定理的基本图形。此过程约3分钟。
教师阶段小结，注意鼓励学生的发现意识。
推论的文字表述，是一个难点。因此，引导学生按照阅读提纲阅读课本，再结合演示逐字理解，分析推论的结构特征，一定是由圆外一点到圆的交点。并用练习1（课后练习）巩固。
设计意图：对自己发现的定理进行反思和小结，以求加深学生对定理的进一步理解。此过程约3分钟。
从猜测到实验，从证明、展示定理到最后掌握定理的结构，对定理的认识层层推进，符合学生的认知规律，有利于新知识的内化
练习1
如图5，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ ）。
A．PCCA＝PBBD B.CEAE＝BEED
C．CECD＝BEBA D.PBPD＝PCPA
设计意图：练习1是课后练习，主要强调定理的线段的次序。此过程约1分钟。
提出问题2：
交点的各种情况我们已经讨论过了，结果都成立。换一个角度，如果特殊的不是交点而是线呢
？
问题2的解决：（此过程约5分钟）
有了切割线定理的推论的学习，学生容易解决。速度可适当地加快，教学程序可以酌情省略，多媒体演示可以只考虑给有困难的学生之用。
整个新知的教学中，从特殊到一般，对新旧知识的相互联系和内在规律给予动态的、系统的解释。把知识串联成发展线，发展线编织成结构网。
4．2定理及推论的应用
范例引导
例1：如图4，AB为⊙O的切线，切点为B，AEF为割线，AE＝ ，直径CD＝6，AD＝2，求AB，AF的值。
例2：己知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B,PA=6cm,AB=8cm,PO=10.9cm,求⊙O的半径。
设计意图：例1为补充例题，是为例2作铺垫；例2解答着重于题意和思路的分析，如方程思想方法并强调强调解题的。规范性。此过程约5分钟。
反馈练习
为了正确应用定理，分清定理的己知和结论。通过A，B，C三组（见附录1）组织学习进行练习评讲。
A组题侧重于基本图形的训练。使学生能熟练利用定理求出线段的长。
B组题包含基本图形的变式。使学生能熟练用切割线定理建立方程解题。
C组题需要添加辅助线，去构造基本图形，是选做题。
练习的反馈分两个方面：（1）每做完一组题，都会显示答案正确与否，同时根据学生练习完成情况，给出鼓励性评价，学生自我评价。（2）教师可对全体学生练习情况进行即时统计，从而进行针对性教学。（3）练习完成得好的同学可以进入英雄榜，让学生更乐学。
网络教学把教师解放出来，更好地与有需要的学生进行更多的交流。此过程约10分钟。
4．3 小结与作业：课本第132页第11、12题。还有一题补充题。
（1）小结知识结构
（2）用切割线定理及其推论建立方程是常用的解题方法。
（3）使用切割线定理及其推论注意线段乘积的顺序，一定是由圆外一点到圆上两点的线段之积相等。
（4）在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握。
设计意图：（1）鼓励学生反思课堂全程，通过对知识的产生、发展、应用的体验和探索、促进学生认知结构的完善。（2）对易错点和解题技巧作小结，再现重点和难点。此过程约2分钟。
作业布置：
4．4板书设计（网络交互教学）（略）
5．特色说明
做数学与玩数学
通过《几何画板》做数学，提高学生使用现代化工具探求真理的实验动手能力。
通过展示区与英雄榜和作业的“玩数学”，提高学生对数学好玩的情感体验。
揭示新知识的发生过程，有利于学生用运动、变化的观点来分析、理解事物，形成完整的知识结构。
教学难点：垂径定理的证明方法，其中圆的轴对称性是理解垂径定理的关键。
二、教学目标的确立
根据本课的具体内容、学生的实际情况，我确立了如下的教学目标：
1、通过直观演示了解圆的轴对称性。
2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。
3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。
三、教学方法与手段的选择
在教学方法方面：本节课主要采用了教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价的方法。
在教学过程中，遵循“实验－观察－猜想－证明－讨论－总结－应用”这一思路，使学生由感性认识上升到理性认识，再到实际应用。遵循“阶梯式发展”原则，引导学生在独立分析、认真思考的基础上，以小组讨论等形式合作探究，进而解决问题、掌握方法。同时，考虑到不同层次学生的学习需要，在所提问题、例题、习题的设置上，均力争使每名学生都有所得。
在教学手段方面：我采用教（学）具直观演示与计算机辅助教学，以提高课堂教学效率。
四、教学过程的设计
1、坚持一条原则：学生是主体，教师是教学过程的组织者、引导者、合作者。
2、围绕一个目的：落实教学目标
3、突出一个特点：通过“实验－观察－猜想－证明－应用”帮助学生实现由感性认识到理性认识的过渡
4、采用一种手段：借助教具的直观性和计算机辅助教学，启发引导学生发现定理，从而抽象概括出定理
5、收到一个效果：使学生通过本节课的学习，能够理解定理的内涵，学会运用定理解决问题。同时使学习知识、培养能力和优化思维品质融为一体。
学法指导：
动手操作、 观察猜测、 交流讨论、 分析推理、 归纳总结，在此过程中使学生积极参与，交流互动。
本课的教学过程包括：
以旧引新、引导探究——动手操作、观察猜想——指导论证、引申结论——多方练习、分层评价——反思小结、布置作业五个环节。
（一）以旧引新、引导探究
人类认识事物大多遵循由感性认识到理性认识，由旧知到新知的上升过程，为此我先引导学生复习与本课新知识有关的旧知识，出示如下两个问题：
（1）什么是轴对称图形
（2）观察下列图形哪些是轴对称图形？并指出对称轴条数。
其中第一题的目的在于唤起学生记忆，明确轴对称图形的概念。进而选取几种常见的几何图形让学生判断，其中的平行四边形是从反面强化对轴对称图形的理解。 第二组是有关车标图案的轴对称图形，使学生知道我们身边随时随地都有轴对称图形的存在，此时可让学生再举几个实际例子，以激发学生的兴趣。
然后出示圆，提问：圆是轴对称图形吗？
它有几条对称轴？
对称轴在什么位置？
进而通过学生折叠圆形纸片、
教师投影演示明确：
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
这样通过创设问题情境，激发学生的求知欲，以旧引新，引出本课课题——圆的轴对称性。
（二）动手操作，观察猜想
首先让学生按要求在事先准备好的圆形纸片中画图折叠、观察、猜想。 ⅰ 画出⊙O的一条弦AB
ⅱ 过O画AB的垂线交⊙O于C、D两点，垂足为E.
问题1：过O点垂直AB的直线有几条？（说出理由）
设计意图：明确垂直于弦的直线有且只有一条。
问题2：直径CD还有什么性质？（投影）
1、引导学生将⊙O纸片沿直径CD折叠，观察重合部分，猜想结论
2、小组交流猜想结论。
3、教师投影演示与学生共享猜想结论
设计意图：通过调动学生的多种感官功能，使学生在动手动脑中强化思维品质。同时为用“叠合法”证明垂径定理起铺路搭桥的作用。
（三）指导论证，引申结论
在师生共同得出猜想结论后，教师追问质疑：猜想的结果是否正确，必须要加以证明，将学生的活跃思维从实验猜想拉回到对猜想的严格证明中。 教学安排：
学生回答已知、求证后教师投影。
随后指导学生从圆的轴对称性入手，讨论出联结OA和OB后，抓住只要能够证出直径CD既是等腰三角形OAB的对称轴，又是圆的对称轴，即可利用圆的`轴对称性证明出结论。进而让学生试述，教师板书证明过程。
进而总结出垂径定理的内容。并引导学生分析出定理的题设和结论。说明知道了题设的两个条件，就可以得出三个结论。
此时出示判断题
(1)过圆心的直径平分弦（×）
(2)垂直于弦的直线平分弦（×）
(3)⊙O中，OE⊥弦AE于E，则AE=BE（√）】
引导小组讨论，允许争论，关键要让学生说明理由，举反例。交流讨论、统一思想后，教师要充分利用评价机制鼓励学生，并强调垂径定理 圆的轴对称性——垂径定理及其推论题设中的两个条件缺一不可。同时说明垂径定理条件中的“直径”是指过圆心的直线，但在应用该条件时可以不为直径，如半径、圆心到弦的距离照样可以得到平分弦的结论。
然后再次通过提问：如果将题设中的两个条件改为“直径平分弦”，能否得出其它三个结论呢？自然的引出对例1的教学：
【例1：已知：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于E，AE=BE
求证：CD⊥AB, 】
通过教师引导、小组讨论分析证明出垂径定理的推论：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。使学生初步认识到将定理中题设的两个条件之一与三个结论之一交换一个，也可得出其它三个结论。然后再次出示小组讨论题，
【小组讨论：下列命题是否正确？说明理由
1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。(√)
2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧(√)】
进一步强化刚才的初步认识，进而归纳总结出其中规律：五个条件，知二推三。在整个过程中教师要及时引导学生通过画图分析、讨论，说明理由，辨别正误，从而有效的突破难点，突出重点。
O
（四）多方练习，分层评价
【例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。】
1、选题意图
至此，学生们对垂径定理及其推论的基本知识应该掌握了，为了使学生再上一个台阶，更好的将知识点落到实处。我安排了例2，试图通过此例，使学生明确：在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，通常是将垂径定理和勾股定理结合起来。达到一通百通的目的。并为例3的教学铺平道路。
2、教学安排
ⅰ 解决问题：此题先提醒学生审清题意，思考如何构造出圆的半径及圆心O到弦AB的距离。在个人独立思考建立图形以后，进行小组交流、讨论。最后各组派代表展示学习成果并说明理由，教师点拨，最后投影出完整解题步骤。 ⅱ 反思拓展：提问：在解答此题的过程中，你用到了几个定理？
通过讨论，使学生体会到：在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，通常是通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合起来。
然后，趁热打铁，通过三个难度不同的练习，进一步巩固刚才讨论得出的成果。
【 A组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是( 3 )cm B组 在圆O中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离为5,则圆O的直径是( 26 ) C组 若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,则CD＝( 16 )】 ⅲ 分层评价：学生的认知水平是不同的，所以我有意识的将题目按由易到难的顺序分成了A、B、C三组，其中A组题是为学困生编写的；B组题绝大多数同学应该掌握；C组题难度稍大，但稍微动一动脑，也不是不能做出的，是为中上等同学准备的。
需要说明的是：学生每做对一组题就可获得一个满分，教师此时巡视指导并及时评判各组当中做完的同学，而且不管是谁只要做对了题，都可以为本组同学判题打分。这样安排，使不同层次的学生都学有所得，调动学生的学习热情。
然后各组请代表说明解题思路。热身之后，出示例3：
【例3、已知⊙O的直径为4cm，弦AB=，求∠OAB的度数】
1、选题意图：在巩固例2成果基础之上，出示例3，是为了将解直角三角形与垂径定理的知识衔接起来，使知识之间融汇贯通——你中有我，我中有你。
2、教学安排：
ⅰ 解决问题：提问：求角度问题，可否通过解直角三角形的问题解决？ 学生自然会联想到构造直角三角形，进而作出正确的辅助线。然后利用特殊角的三角函数值求出锐角的度数。学生展示成果后，教师出示完整解题格式，并追问：还有没有其它的解题方法？此时 圆的轴对称性可能有的学生通过得出弦心距的长度，利用在直角三角形中，若一条直角边等于斜边一半，则该直角边所对角为30°，亦可。教师要给予充分的肯定和鼓励性评价。然后再通过一道证明题，
【练习：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 】
再一次的巩固垂径定理及辅助线的做法。
ⅱ 反思拓展：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。
（五）反思小结、布置作业
这个环节主要让学生谈谈本节课的收获和体会。我根据情况适当补充。然后仍按照学生层次布置分层作业。这样最大限度的调动学生学习的积极性，使不同层次的学生都有所获，在原有的基础上得以发展、提高。
以上是我对本节课的说明，不妥之处，敬请专家、评委指正。谢谢大家！
各位专家、评委：
你们好！很高兴能有机会参加这次活动，并得到您的指导。
我说课的题目是：圆的轴对称性——垂径定理及其推论。它是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册第二十四章第一节的第二部分《垂直于弦的直径》的内容。。
这部分内容教材安排了两课时，其中第一课时讲圆的轴对称性，第二课时讲圆的旋转不变性。
结合我对教材的理解和我所任教班级学生的实际情况，我将圆的轴对称性一课时内容调整为两课时，今天我所讲的是第一课时——垂径定理及其推论。
下面，我就从教学内容，教学目标、教学方法与手段、教学过程设计等四个方面进行说明。
一、教学内容的说明
教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处理好教材。
垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，为进行圆的计算和作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点， 垂径定理及其推论的题设和结论较为复杂，容易混淆，因此也是学习的难点。
鉴于这种理解，通览教材，我确定出如下教学内容：
(1)了解圆的轴对称性。
(2) 弄清垂径定理及其推论的题设和结论。 (3)运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。
(4)学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法。
1．4教材处理
教学如何提示知识的发生过程？即它们是如何被提出的、发现的，是如何被抽象、概括的，是如何被猜测、判断的……在这一系列的思维活动中，蕴含了极其丰富的思维因素与价值。为此，我对教材进行了再创造。
2．教学方法和教学手段的选用
依据fredenthal的“数学教育应当是数学再发现的教育”的主张，结合教学大纲和我校学生的实际情况，我在网络课室（单人单机），结合《几何画板》，使用引导发现教学法进行教学。
3．关于学法的指导
“授人以鱼，不如授人以渔” ，我体会到，必须教会学生自主学习的方法。
教学中以数学问题为中心，安排教学程序，强调学生自己发现，强调发现的过程，强调学生自己获得知识的方法。培养学生收集、处理信息能力和获取新知识的能力。
4．教学过程